Question

设双曲线y2a2−x23＝1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用离心率为2，结合c²=a²+3，可求a，c的值，从而可求双曲线方程，即可求得渐近线方程；

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），利用2|AB|=5|F₁F₂|，建立方程，根据A、B分别为l₁、l₂上的点，化简可得轨迹方程及对应的曲线．

（Ⅰ）∵e=2，∴c²=4a²

∵c²=a²+3，∴a=1，c=2

∴双曲线方程为y2−

x2

3＝1，渐近线方程为y＝±

3

3x

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y）

∵2|AB|=5|F₁F₂|，∴|AB|=[5/2]|F₁F₂|=[5/2]×2c=10，∴

(x1−x2)2+(y1−y2)2=10

∵y1＝

3

3x1，y2＝−

3

3x2，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂

∴y1+y2＝

3

3(x1−x2)，y

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题考查轨迹方程的求解，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．