Question

为什么当弹簧的质量不可忽略时,振子的有效质量为振动物体的质量与弹簧有效质量的和

Answer 1

1.没有考虑弹簧质量时,动力学方程为Mx"=-k1x-k2x,方程解为x=Asin(wx+x0)w=根号下((k2+k1)/M),T=2pi/w=2pi根号下(M/(k2+k1)),k1,k2已定,T和M的理论关系为上式.2.若考虑弹簧质量,先考虑一端弹簧,设自由端速度为V,弹簧原长L,则距固定端x处速度V'为xV/L,原因是,在假设弹簧各处等长度伸长,则第n小段的伸长dx是第一小段伸长的n倍,见附图.将弹簧的动能用积分积出来,利用能量守恒等式,两边对时间求导可到处动力学方程,过程见附图.求出一个弹簧在振动方程中的有效质量是弹簧质量的1/3.另一个弹簧同样处理可得相同结论.本质上,就是在能量守恒方程中加入两个弹簧的动能项.所以总的动力学方程为:(M+1/3*m1+1/3*m2)x"+(k1+k2)x=0w=2pi根号下((k2+k1)/(M+1/3*m1+1/3*m2)),T=2pi/w=2pi根号下((M+1/3*m1+1/3*m2)/(k2+k1)). m0=1/3*m1+1/3*m2,m1,m2为两个弹簧的质量.