Question

已知函数f（x）=[3x+1/x+a]（x≠-a，a≠[1/3]）．

Answer 1

解题思路：（1）由y=[3x+1/x+a]，得y（x+a）=3x+1，（y-3）x=1-ay．由此能求出所求反函数．

（2）依题意得f^--1（x）=f（x），则[3x+1/x+a]=[1−ax/x−3]，由此能求出a．

（1）设y=[3x+1/x+a]，

则y（x+a）=3x+1，（2分）

整理得（y-3）x=1-ay．（3分）

若y=3，则a=[1/3]，与已知矛盾，

∴y≠3．（4分）

∴x=[1−ay/y−3]．（5分）

故所求反函数为f^-1（x）=[1−ax/x−3]（x≠3）．（7分）

（2）依题意得f^--1（x）=f（x），

则[3x+1/x+a]=[1−ax/x−3]，（10分）

整理得3x²-8x-3=-ax²+（1-a²）x+a，

比较两边对应项的系数，（11分）

有

−a＝3

a2−1＝8

a＝−3

故a=-3．（13分）

点评：

本题考点： 反函数．

考点点评： 本题考查反函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．