解题思路：（1）延长DM到N，使MN=DM，连接CM即可；
（2）连接AD，AN，CD，EN，利用所给条件证明AD和AN所在的三角形全等，进而得到AD=AN，那么利用等腰三角形的三线合一性质得到所求；
（3）利用△ADM为等腰直角三角形作答即可．
（1）所画图形如下所示：
（2）连接AD，AN，CD，EN，
∵DM=MN，CM=ME，
∴四边形DENC是平行四边形，
∴CN∥DE，CN=DE，
∴∠E=∠NCM，
∵DB=DE，
∴BD=CN，
∵∠CBD+∠BDE+∠E+∠BCE=360°，
∠ACB+∠BCE+∠NCE+∠ACN=360°，
∴∠CBD+∠BDE=∠ACB+∠ACN
∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ABC=∠ACB=α，
∵∠BDE=2α，
∴∠CBD+2α=α+∠ACN，
∴∠CBD+α=∠ACN．
∵∠ABC=α，
∴∠ABD=∠ACN，
在△ABD和△ACN中，
AB=AC
∠ABD=∠ACN
BD=CN
∴△ABD≌△ACN（SAS），
∴AD=AN，
∴AM⊥DM；
（3）△ADM为等腰直角三角形，
如果AM=DM，则∠ADM=45°，∠AMD=90°．
∵∠DAC+∠CAN=90°，∠CAN=∠BAD，
∴∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰RT△．
∴α=45°．
点评：
本题考点： 作图-旋转变换；全等三角形的判定与性质．
考点点评： 综合考查了学生对中心对称作图的掌握，以及三角形全等、等腰三角形的三线合一及四边形内角和定理等知识点．