解题思路：首先设该敬老院有老人x人，根据关键语句“如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，”可知牛奶有（5x+38）盒，再根据关键语句“如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒”可得不等式1≤（5x+38）-6（x-1）＜5，再解不等式即可．
设该敬老院有老人x人，则牛奶有（5x+38）盒，由题意得：
1≤（5x+38）-6（x-1）＜5，
解得：39＜x≤43，
故该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人．
故答案为：40；43．
点评：
本题考点： 一元一次不等式组的应用．
考点点评： 此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是设出老人的人数，表示出牛奶的盒数，找到关键语句列出不等式．