如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,点A,C分别在X轴和Y轴上,当点A在X轴上运动时,点C随之在Y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是?
设∠ACO=α,则∠BOC=90°+α
在⊿BOC中由余弦定理得OB2=BC平方+OC平方-2BC OC cos(90°+α)
∵AC=4,BC=2 ∴OC=AC COSα=4COSα
∵cos(90°+α)=-sinα
∴OB平方=16COS平方α+4+16sinαCOSα
=16COS平方α+4+8sin2α
∵2COS平方α=COS2α+1 ∴16COS2α=8COS2α+8
∴OB平方=8COS2α+8+4+8sin2α
=8(COS2α+sin2α)+12
∵COS2α+sin2α=sin(2α+β) ,tanβ=1.
∴OB平方=12+8√2sin(2α+β)
∵sin(2α+β)的最大值是1,且tanβ=1
∴OB平方的最大值是12+8√2=（2+√2）2
∴OB的最大值是（2+√2）,此时β=45° 2α=45° 即α=22.5°
显然当α=22.5°时,OB与AC交与AC的中点,亦即当OB线段经过AC中点时OB值最大.