Question

设定义在R上的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x+1）=-f（x）对任意的x都成立；②当x∈[0，1]时，f（x）=

Answer 1

解题思路：由f（x+1）=-f（x）⇒f（x+2）=f（x），即函数f（x）是以2为周期的函数，依题意知，f（0+1）+f（0）=1，可求得m的值；当0≤x≤1时，利用导数法可知，f（x）=e^x-e•cos[πx/2]-[1/2]在[0，1]上只有一个零点；同理可求得当x∈[-1，0]时，f（x）=-e^x+1-sin[πx/2]+[1/2]在[-1，0]上只有一个零点；利用函数的周期性即可求得f（x）在区间[2013，2016]上的零点个数．

∵f（x+1）=-f（x），

∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=f（x），

∴函数f（x）是以2为周期的函数，

又当x∈[0，1]时，f（x）=e^x-e•cos[πx/2]+m，

∴f（0）=1-e+m，f（1）=e+m，又f（0+1）=-f（0），

即f（0+1）+f（0）=1，

∴2m+1=0，

∴m=-[1/2]，可排除B、D；

∴f（x）=e^x-e•cos[πx/2]-[1/2]，

∵当0≤x≤1时，f′（x）=e^x+[π/2]sin[πx/2]＞0，

∴f（x）=e^x-e•cos[πx/2]-[1/2]在[0，1]上单调递增，

又f（0）=1-e-[1/2]＜0，f（1）=e-[1/2]＞0，

∴f（x）=e^x-e•cos[πx/2]-[1/2]在[0，1]上只有一个零点；①

当x∈[-1，0]时，x+1∈[0，1]，f（x+1）=e^x+1-e•cos

π(x+1)

2-[1/2]，

∴f（x）=-f（x+1）=-e^x+1-sin[πx/2]+[1/2]（-1≤x≤0），

∵当-1≤x≤0时，f′（x）=-e^x+1-[π/2]cos[πx/2]＜0，

∴f（x）=-e^x+1-sin[πx/2]+[1/2]在[-1，0]上单调递减，

又f（-1）=-1+1+[1/2]＞0，f（0）=-e+[1/2]＜0，

∴f（x）=-e^x+1-sin[πx/2]+[1/2]在[-1，0]上只有一个零点；②

由①②知，函数f（x）在一个周期内共有2个零点；

∴f（x）在区间[2013，2016]上的零点个数为3个，（由2为其周期知，在[2013，2014]上一个，在[2014，2015]上一个，在[2015，2016]上一个），即n=3．

故选：C．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查抽象函数及其应用，着重考查分段函数解析式的确定，考查通过导数判断函数的单调性与零点个数，是难点，考查综合分析与运算能力，属于难题．