Question

函数f（x）=[1/3]x3-alnx-x2在区间（1，3）内不存在极值点，则a的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：函数f（x）=[1/3]x³-alnx-x²（a∈R）在（1，3）内不存在极值点⇔函数f（x）在（1，3）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（1，3）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．

函数f（x）=[1/3]x³-alnx-x²（a∈R）在（1，3）内不存在极值点

⇔函数f（x）=[1/3]x³-alnx-x²（a∈R）在（1，3）内单调

⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（1，3）内恒成立．

由f′（x）=x²-[a/x]-2x≥0在（1，3）内恒成立

⇔a≤（x³-2x²）_min，x∈（1，3）．即a≤-1，

由f′（x）=x²-[a/x]-2x≤0在（1，3）内恒成立

⇔a≥（x³-2x²）_max，x∈（1，3）．即a≥9，

故答案为：a≤-1或a≥9．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分离参数法、函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．