Question

如图所示，直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由P为A₁B₁的中点，知PB₁∥AB，且PB₁=[1/2]AB，证明DCB₁P为平行四边形，从而CB₁∥DP，即可证明DP∥平面ACB₁平行；

（Ⅱ）直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由BB₁⊥平面ABCD，知BB₁⊥AC，有∠BAD=∠ADC=90°，知AB=2AD=2CD=2，由此能够证明AC⊥平面BB₁C₁C，即可证明平面ACC₁A₁⊥平面BB₁C₁C．

证明：（Ⅰ）由P为A₁B₁的中点，知PB₁∥AB，且PB₁=[1/2]AB，

∵DC∥AB，DC=[1/2]AB，

∴DC∥PB₁，且DC=PB₁，

∴DCB₁P为平行四边形，从而CB₁∥DP，

∵CB₁⊂面ACB₁，DP⊄面ACB₁，

∴DP∥面ACB₁．

（Ⅱ）直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，

∴BB₁⊥AC，

∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，

∴AC=

2，∴BC=

2，∴BC⊥AC，

∴AC⊥平面BB₁C₁C，

又AC⊂平面ACC₁A₁，

∴平面ACC₁A₁⊥平面BB₁C₁C．…（13分）

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明和直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．