Question

双曲线上到焦点最近的点是双曲线定点吗

Answer 1

用第二定义.以焦点在x轴上的双曲线的右支为例.

设P(x,y)是双曲线x²/a²-y²/b²=1 (a>0,b>0)的右支上一点,F(c,0)为右焦点,x=a²/c为右准线,

按双曲线的第二定义,P到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率,从而

|PF|/|x-a²/c|=e,由于P在右支上,所以 x≥a ,从而

|PF|=e(x-a²/c)=ex-a

当x=a时,|PF|取到最小值为ea-a=c-a,

从而,双曲线上到焦点距离最近的点是双曲线的顶点