Question

已知⊙O：x 2 +y 2 =1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足PQ=PA

Answer 1

（1）由点Q为切点，可得PQ⊥OQ，

由勾股定理得：|PQ| ²=|OP| ²-|OQ| ²，

又|PQ|=|PA|，

∴|PQ| ²=|PA| ²，即（a ²+b ²）-1 ²=（a-2） ²+（b-1） ²，

化简得：2a+b-3=0，

则所求直线方程为2a+b-3=0；

（2）由2a+b-3=0，得b=-2a+3，

|PQ|=

a 2 + b 2 -1 =

a 2 +(-2a+3 ) 2 -1 =

5 a 2 -12a+8 =

5(a-

6

5 ) 2 +

4

5 ，

故当a=

6

5 时，|PQ| _min=

2

5

5 ，即线段PQ长的最小值为

2

5

5 ；

（3）设圆P的半径为R，Q为圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，

∴|R-1|≤|OP|≤R+1，即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1，

而|OP|=

a 2 + b 2 =

a 2 +(-2a+3 ) 2 =

5 (a-

6

5 ) 2 +

9

5 ，

故当a=

6

5 时，|OP| _min=

3

5

5 ，此时b=-2a+3=

3

5 ，R _min=

3

5

5 -1，

则半径取最小值时圆P的方程为（x-

6

5 ） ²+（y-

3

5 ） ²=（

3

5

5 -1） ²．