Question

（满分12分）正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 2，且 AC 与 BD 交于点 O ， E

Answer 1

(Ⅰ)见解析

(Ⅱ) F (0, , )

(Ⅲ)二面角 B ₁－ EA － C 的正弦值为

证明：(I) 由题设知下列各点的坐标 A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (2, 2, 0),

D (0, 2, 0), E (0, 2, 1), B ₁(2, 0, 2)．

∵ O 是正方形 ABCD 的中心，∴ O (1, 1, 0)．

∴= (－1, 1, －2)，=" (2," 2, 0)，=" (0," 2, 1)．2分

∴·= (－1, 1, －2)·(2, 2, 0)

= －1·2 + 1·2－2·0 = 0．

·= (－1, 1, －2)·(0, 2, 1)

= －1·0 + 1

·2－2·1 = 0．

∴⊥，⊥，

即 B ₁O ⊥ AC ， B ₁O ⊥ AE ，

∴ B ₁O ⊥平面 ACE ．4分

(II) 由F点在AE上，可设点 F 的坐标为 F (0, 2 l , l )， 5分

则= (－2, 2 l , l －2)． 6分

∵⊥，

∴·= (－2, 2 l , l －2)·(0, 2, 1) = 5 l －2 = 0， 7分

∴ l = ,

∴ F (0, , )． 8分

(III)∵ B ₁O ⊥平面 EAC ， B ₁F ⊥ AE ，连结 OF ，由三垂线定理的逆定理得 OF ⊥ AE ．

∴∠ OFB ₁即为二面角 B ₁－ EA － C 的平面角． 9分

∴ |

| = = ． 10分

又= (－2, ,－)，

∴ | | = = ． 11分

在 Rt △ B ₁OF 中，sin∠ B ₁FO = = ．

故二面角 B ₁－ EA － C 的正弦值为． 12分