已知函数 .(1)当a=1时,求曲线 在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e
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  • 已知函数

    (1)当a=1时,求曲线

    在点(1,f(1))处的切线方程;

    (2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a的值;

    (3)若对任意

    ,且

    恒成立,求a的取值范围.

    (1)

    (2)

    .(3)

    .

    试题分析:(1)当

    时,

    .

    利用切线的斜率等于在切点处的导函数值,可得斜率得解.

    (2)函数

    的定义域是

    . 根据当

    时、当

    、当

    时、当

    时等 几种情况,“求导数,求驻点,讨论区间单调性,确定函数的最值”,建立

    的方程.

    (3)设

    ,问题转化成“只要

    上单调递增即可.”

    时,根据

    ,知

    上单调递增;

    时,只需

    上恒成立,问题转化成“只要

    ”.

    (1)当

    时,

    .

    因为

    .2分

    所以切线方程是

    3分

    (2)函数

    的定义域是

    .

    时,

    ,即

    所以

    .6分

    ,即

    时,

    在[1,e]上单调递增,

    所以

    在[1,e]上的最小值是

    ,解得

    ;7分

    时,

    在[1,e]上的最小值是

    ,即