解题思路:(1)根据角平分线的定义求出∠CBM=∠CDN=45°,再求出∠ABM=∠ADN=135°,然后根据正方形的每一个角都是90°求出∠BAM+∠NAD=45°,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和∠BAM+∠AMB=45°,从而得到∠NAD=∠AMB,再求出△ABM和△NDA相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解即可;
(2)过点A作AF⊥AN并截取AF=AN,连接BF、FM,根据同角的余角相等求出∠1=∠3,然后利用“边角边”证明△ABF和△ADN全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=DN,∠FBA=∠NDA=135°,再求出∠FAM=∠MAN=45°,然后利用“边角边”证明△AFM和△ANM全等,根据全等三角形对应边相等可得FM=NM,再求出△FBM是直角三角形,然后利用勾股定理判断即可.
(1)∵BM、DN分别平分正方形的两个外角,
∴∠CBM=∠CDN=45°,
∴∠ABM=∠ADN=135°,
∵∠MAN=45°,
∴∠BAM+∠NAD=45°,
在△ABM中,∠BAM+∠AMB=∠MBP=45°,
∴∠NAD=∠AMB,
在△ABM和△NDA中,
∠ABM=∠ADN
∠NAD=∠AMB,
∴△ABM∽△NDA,
∴[AB/DN]=[BM/AD],
∴BM•DN=AB•AD=a2;
(2)以BM,DN,MN为三边围成的三角形为直角三角形.
证明如下:如图,过点A作AF⊥AN并截取AF=AN,连接BF、FM,
∵∠1+∠BAN=90°,
∠3+∠BAN=90°,
∴∠1=∠3,
在△ABF和△ADN中,
AB=AD
∠1=∠3
AF=AN,
∴△ABF≌△ADN(SAS),
∴BF=DN,∠FBA=∠NDA=135°,
∵∠FAN=90°,∠MAN=45°,
∴∠1+∠2=∠FAM=∠MAN=45°,
在△AFM和△ANM中,
AF=AN
∠FAM=∠MAN
AM=AM,
∴△AFM≌△ANM(SAS),
∴FM=NM,
∴∠FBP=180°-∠FBA=180°-135°=45°,
∴∠FBP+∠PBM=45°+45°=90°,
∴△FBM是直角三角形,
∵FB=DN,FM=MN,
∴以BM,DN,MN为三边围成的三角形为直角三角形.
点评:
本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理的逆定理;相似三角形的判定与性质.
考点点评: 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理逆定理,相似三角形的判定与性质,难点在于(2)作辅助线构造出全等三角形和直角三角形.