(2014•菏泽)已知:如图,正方形ABCD,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45°,连接MN.

1个回答

  • 解题思路:(1)根据角平分线的定义求出∠CBM=∠CDN=45°,再求出∠ABM=∠ADN=135°,然后根据正方形的每一个角都是90°求出∠BAM+∠NAD=45°,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和∠BAM+∠AMB=45°,从而得到∠NAD=∠AMB,再求出△ABM和△NDA相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解即可;

    (2)过点A作AF⊥AN并截取AF=AN,连接BF、FM,根据同角的余角相等求出∠1=∠3,然后利用“边角边”证明△ABF和△ADN全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=DN,∠FBA=∠NDA=135°,再求出∠FAM=∠MAN=45°,然后利用“边角边”证明△AFM和△ANM全等,根据全等三角形对应边相等可得FM=NM,再求出△FBM是直角三角形,然后利用勾股定理判断即可.

    (1)∵BM、DN分别平分正方形的两个外角,

    ∴∠CBM=∠CDN=45°,

    ∴∠ABM=∠ADN=135°,

    ∵∠MAN=45°,

    ∴∠BAM+∠NAD=45°,

    在△ABM中,∠BAM+∠AMB=∠MBP=45°,

    ∴∠NAD=∠AMB,

    在△ABM和△NDA中,

    ∠ABM=∠ADN

    ∠NAD=∠AMB,

    ∴△ABM∽△NDA,

    ∴[AB/DN]=[BM/AD],

    ∴BM•DN=AB•AD=a2

    (2)以BM,DN,MN为三边围成的三角形为直角三角形.

    证明如下:如图,过点A作AF⊥AN并截取AF=AN,连接BF、FM,

    ∵∠1+∠BAN=90°,

    ∠3+∠BAN=90°,

    ∴∠1=∠3,

    在△ABF和△ADN中,

    AB=AD

    ∠1=∠3

    AF=AN,

    ∴△ABF≌△ADN(SAS),

    ∴BF=DN,∠FBA=∠NDA=135°,

    ∵∠FAN=90°,∠MAN=45°,

    ∴∠1+∠2=∠FAM=∠MAN=45°,

    在△AFM和△ANM中,

    AF=AN

    ∠FAM=∠MAN

    AM=AM,

    ∴△AFM≌△ANM(SAS),

    ∴FM=NM,

    ∴∠FBP=180°-∠FBA=180°-135°=45°,

    ∴∠FBP+∠PBM=45°+45°=90°,

    ∴△FBM是直角三角形,

    ∵FB=DN,FM=MN,

    ∴以BM,DN,MN为三边围成的三角形为直角三角形.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理的逆定理;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理逆定理,相似三角形的判定与性质,难点在于(2)作辅助线构造出全等三角形和直角三角形.