Question

已知关于x的方程[1/4x2−(m−2)x+m2＝0．

Answer 1

解题思路：（1）由△=0，即

(m−2

)

2

−4×

1

4

×

m

2

＝0

得到m的方程，可求得m的值，再把m的值代入原方程，解方程即可；

（2）先假设存在正数m使得x₁²+x₂²=224，然后利用根与系数的关系x₁+x₂=4m-8，x₁x₂=4m²．于是有x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（4m-8）²-8m²=224，解方程求出m的值，同时由△＞0得m＜1，且m为正数，最后确定不存在符合条件的正数m

（1）依题意得△=0，即(m−2)2−4×

1

4×m2＝0，

-4m+4=0，

解得m=1，

当m=1时，原方程为

1

4x2+x+1＝0

解得x₁=x₂=-2．

（2）不存在．

假设存在正数m使得x₁²+x₂²=224，

则由韦达定理得x₁+x₂=4m-8，x₁x₂=4m²，

∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（4m-8）²-8m²=224，

即：m²-8m-20=0，

解得m₁=10，m₂=-2（舍去）

∵△＝(m−2)2−4×

1

4×m2＝−4m+4＞0，

∴m＜1

∴m₁=10也不符合题意，应舍去．

故不存在正数m使得方程两根满足x₁²+x₂²=224．

点评：

本题考点： 根的判别式；根与系数的关系．

考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考查了根与系数的关系x1+x2=-ba]，x1x2=[c/a]．也考查了存在性问题的解题方法和格式．