Question

微分方程2yy'-xy^2=xe^x满足初始条件y(0)=1的特解

Answer 1

令z=y^2

dz/dx=2y(dy/dx)=2yy'

所以原方程变为

z'-xz=xe^x

z(0)=y(0)^2=1

然后利用积分因子

e^(∫-xdx)

=e^(-x^2/2)

两边同乘,左边是一全微分

(ze^(-x^2/2))'=xe^(x-x^2/2)

两边积分

ze^(-x^2/2)=∫ te^(t-t^2/2) dt +C

z=e^(x^2/2)[∫ te^(t-t^2/2) dt +C]

代入x=0,z=1

1=C

所以

z=e^(x^2/2)[∫ te^(t-t^2/2) dt +1]

y=e^(x^2/4)[∫ te^(t-t^2/2) dt +1]^(1/2)