Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+[1/2]，且f（[1/2]）=0

Answer 1

解题思路：（1）利用赋值法，令y=x=[1/2]即可求得f（1）的值；

（2）由当x＞[1/2]时，f（x）＞0，结合给出的等式得到当x＞0时，f（x）＞-1，然后利用函数单调性定义，借助于题目给出的等式判断．

（1）由对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+[1/2]，且f（[1/2]）=0，

令y=x=[1/2]，得f（1）=f（[1/2]）+f（[1/2]）+[1/2]=[1/2]；

（2）设x＞0 则x+[1/2＞

1

2]．

∴f(x+

1

2)＝f(x)+f(

1

2)+

1

2＞0．

即f（x）＞-1

任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＞x₂

则x₁-x₂＞0

∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）+1＞f（x₂）

∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查抽象函数奇偶性和单调性，考查了利用特值法求函数的值，这类问题用赋值法和性质的定义比较常见，属于中档题．