Question

实数x,y,z, 若x^3+y^2=3, y^2+z^2=5, z^2+x^3=4, 则xy+yz+zx的最小值是

Answer 1

把上面方程中的x^3+y^2=3, 与z^2+x^3=4相加得到2x^3+y^2+z^2=7,

再由于y^2+z^2=5, 所以2x^3=2

从而x^3=1, 即x=1

再把x=1代入x^3+y^2=3, z^2+x^3=4, 解得y^2=2, z^2=3

而xy+yz+zx=y+yz+z

若y,z同为正的,则y=sqrt(2), z=sqrt(3), 从而xy+yz+zx=y+yz+z=sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(6).

若y,z同为负的,则y=-sqrt(2), z=-sqrt(3), 从而xy+yz+zx=y+yz+z=-sqrt(2)-sqrt(3)+sqrt(6).

若y,z一正,一负,要求最小值,必然是z为负的,y为正的的,则y=sqrt(2), z=-sqrt(3), 从而xy+yz+zx=y+yz+z=sqrt(2)-sqrt(3)-sqrt(6).

显然xy+yz+zx的最小值是sqrt(2)-sqrt(3)-sqrt(6).