已知如图,正方形ABCD中,E为DC上一点,连接BE,作CF⊥BE于P交AD于F点,若恰好使得AP=AB.求证:E为DC

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  • 解题思路:过A作AM⊥BE与M,根据条件可以得出△ABM≌△BCP,可以得出AP=AB,进而可以得出△ABM∽△BEC由相似三角形的性质就得出CE=[1/2]DC,从而可以得出结论.

    证明:过A作AM⊥BE与M.

    ∴∠AMB=∠AMP=90°,

    ∴∠1+∠3=90°

    ∵BE⊥CF

    ∴∠4=90°

    ∴∠AMB=∠4

    ∵四边形ABCD是正方形,

    ∴AB=BC=CD,∠ABC=90°.

    即∠1+∠2=90°,

    ∴∠2=∠3

    ∵在△ABM和△BCP中,

    ∠AMB=∠4

    ∠3=∠2

    AB=BC,

    ∴△ABM≌△BCP(AAS)

    ∴AM=BP

    ∵AP=AB,AM⊥BE,

    ∴BM=[1/2]BP=[1/2]AM.

    ∵∠2=∠3,∠AMB=∠BCE,

    ∴△ABM∽△BEC

    ∴[BM/AM=

    CE

    BC=

    1

    2]

    ∵BC=DC

    ∴CE=[1/2]DC.

    ∴E为DC中点.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,相似三角形的判定及性质的运用,解答时正确作出辅助线是解答本题的关键.