Question

已知动点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线l：y+1=0的距离

Answer 1

（1）点M到点F的距离是|MF|=

x 2 + (y-1) 2 ，点M到直线y+1=0的距离是d=|y+1|

根据题意，得x ²+（y-1） ²=（y+1） ²

x ²+y ²-2y+1=y ²+2y+1

即 y=

x 2

4

∴点M的轨迹方程是 y=

x 2

4 ；

（2）∵倾斜角为30°，∴直线m的斜率为

3

3

∵F（0，1），∴直线m的方程为： y=

3

3 x+1

与抛物线方程联立

y=

x 2

4

y=

3

3 x+1

消去y可得，

x 2

4 -

3

3 x-1=0

∴x ₁= 2

3 或 x 2 =-

2

3

3

∴y ₁=3或 y 2 =

1

3

∴ A(2

3 ，3)，B(-

2

3

3 ，

1

3 )

∴ |AB|=

(2

3 +

2

3

3 ) 2 + (3-

1

3 ) 2 =

16

3

（3）证明：过G（0，4）的直线为 y=kx+4

代入抛物线方程，得

x 2

4 =kx+4

即x ²-4kx-16=0

∵过点G（0，4）的直线n交M的轨迹于C（x ₁，y ₁），D（x ₂，y ₂），

∴x ₁+x ₂=4k，x ₁x ₂=-16

∵OC 的斜率是

y 1

x 1 ，OD的斜率是

y 2

x 2

∴

y 1

x 1 ×

y 2

x 2 =

1

4

x 21 ×

1

4

x 22

x 1 x 2 =

x 1 x 2

16 =-1

∴OC⊥OD