解题思路：（1）先求导，再根据导数求出函数的单调区间；
（2）需要分两类，函数f（x）在[-1，1]上为单调减函数和函数f（x）在[-1，1]上为单调增函数，然后分离参数，根据函数的最值，求出范围即可．
（1）当a=[3/2]时，函数f（x）=
ex
2-[1
ex-
3/2]x，
∴f′（x）=
ex
2+[1
ex-
3/2]=
e2x−3ex+2
2ex=
(ex−1)(ex−2)
2ex，
令f′（x）=0，解得x=0．或x=ln2，
当f′（x）＞0时，即x＜0，或x＞ln2，故函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即0＜x＜ln2，故函数f（x）单调递减，
所以函数f（x）单调增区间为（-∞．0）∪（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）
（2）∵f′（x）=
ex
2+[1
ex-a，
①若函数f（x）在[-1，1]上为单调减函数，
∴f′（x）=
ex/2]+[1
ex-a≤0，在[-1，1]恒成立，
即a≥
ex/2]+[1
ex
令g（x）=
ex/2]+[1
ex，
则g′（x）=
ex/2]-[1
ex=
(ex+
2)(ex−
2)
2ex，
当x∈[-1，ln
2），g（x）单调递减，x∈（ln
2，1]单调递增，
又因为g（1）=
e/2+
1
e]，g（-1）=[1/2e+e，
g（1）＜g（-1），
故g（x）max=g（-1）=
1
2e+e，
故a≥
1
2e+e，
②若函数f（x）在[-1，1]上为单调增函数，
∴f′（x）=
ex
2]+[1
ex-a＞0，在[-1，1]恒成立，
即a＜
ex/2]+[1
ex
令h（x）=
ex/2]+[1
ex，
则h′（x）=
ex/2]-
1
ex=
(ex+
2)(ex−
2)
2ex，
当x∈[-1，ln
2），g（x）单调递减，x∈（ln
2，1]单调递增，
故当x=ln
2，h（x）有最小值，最小值为h（x）min=h（ln
2）=
2
故a≤
2，
综上所述实数a的取值范围为（-∞，
2]∪[
1
2e+e，+∞）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、函数饿最值知识，考查运算求解能力分类讨论的能力，属于中档题．