一个自然数a,若将其数字重新排列可得一个新的自然数b.如果a恰是b的3倍,我们称a是一个“希望数”.

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  • 解题思路:(1)根据希望数的定义可知,428571=3×142857,故此数即为希望数;

    (2)由于a、b均为希望数,所以存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p,使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和,根据整除的判别法可知a为3的倍数、p为9的倍数,再由a,b都是“希望数”,可知a,b都是27的倍数,设a=27n1,b=27n2(n1,n2为正整数)代入ab即可得出答案.

    (1)∵428571=3×142857,

    ∴428571是一个“希望数”.

    (2)∵a为“希望数”,依“希望数”定义知,存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p,使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和.

    ∵a=3p和a为3的倍数,但a的数字和等于P的数字和,

    ∴由整除判别法,知p为3的倍数,

    ∴p=3m,(m为正整数),

    ∴a=3×p=3×3m=9m,

    ∴a被9整除.

    ∵a的数字和等于p的数字和,

    ∴由被9整除的判别法可知p能被9整除,即p=9k(k为整数),

    ∴p=3a=3×9k=27k

    ∴a是27的倍数.

    ∴“希望数”一定能被27整除.

    ∵a,b都是“希望数”,

    ∴a,b都是27的倍数,即a=27n1,b=27n2(n1,n2为正整数).

    ∴ab=(27n1)(27n2

    =(27×27)(n1×n2

    =729n1n2

    ∴ab一定是729的倍数.

    点评:

    本题考点: 排列与组合问题;数的整除性.

    考点点评: 本题考查的是“希望数”的定义及数的整除性问题,根据题意掌握“希望数”的定义是解答此题的关键.