（2012•石景山区一模）定义：若数列{An}满足 - 知识问答

（2012•石景山区一模）定义：若数列{An}满足An+1＝An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}

1个回答

解题思路：（1）根据点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，可得数列递推式，再进行变形，利用定义即可得到结论；
（2）先确定
a
n
＝
1
2
(
5
2
n−1
−1)
，再利用对数运算，即可求得T_n关于n的表达式；
（3）因为
b
n
＝
lg
T
n
lg(2
a
n
+1)
＝
(
2
n
−1)lg5
2
n−1
lg5
＝
2
n
−1
2
n−1
＝2−(
1
2
)
n−1
，所以S_n=
2n−2+2(
1
2
)
n
，再根据S_n＞2011，即可求得n的最小值．
（1）证明：由条件得：an+1＝2an2+2an，
∴2an+1+1＝4an2+4an+1＝(2an+1)2，
∴{2a_n+1}是“平方递推数列”．…（4分）
由lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1），
∴
lg(2an+1+1)
lg(2an+1)＝2，
∴{lg（2a_n+1）}为等比数列． …（6分）
（2）∵lg（2a₁+1）=lg5，∴lg(2an+1)＝lg5•2n−1，
∴2an+1＝52n−1
∴an＝
1
2(52n−1−1)．…（8分）
∵lgTn＝lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)＝
lg5•(1−2n)
1−2＝(2n−1)lg5，
∴Tn＝52n−1．…（10分）
（3）bn＝
lgTn
lg(2an+1)＝
(2n−1)lg5
2n−1lg5＝
2n−1
2n−1＝2−(
1
2)n−1，…（12分）
∴Sn＝2n−[1+
1
2+(
1
2)2+…+(
1
2)n−1]＝2n−
1−(
1
2)n
1−
点评：
本题考点：数列的应用；等比关系的确定；数列的求和．
考点点评：本题考查数列的应用，考查新定义，考查数列的通项与求和，解题的关键是理解新定义，确定数列的通项．

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