解,x轴上的点E坐标设为（e,0）
使得△BCE为等腰三角形,则三种情况
BE=BC：(1-e)²+4²=(1-3)²+(4-2)²,没有实数解,本情况不会出现.
EB=EC：(e-1)²+(0-4)²=(e-3)²+(0-2)²,化简得4e+4=0,解得e=-1,点E（-1,0）
CB=CE：(3-1)²+(2-4)²=(3-e)²+(2-0)²,化简得,(3-e)²=4,解得e=1或e=5,点E（1,0）或E（5,0）.
综上所述,存在三个点E使得△BCE是等腰三角形：
E（-1,0）或E（1,0）或E（5,0）