Question

（2008•武清区二模）已知f1（x）=sinx-cosx，若f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f

Answer 1

解题思路：利用导数的运算法则，通过计算即可得出其周期性f_n+4（x）=f_n（x）进而即可得出答案．

∵f₁（x）=sinx-cosx，

∴f₂（x）=f₁′（x）=cosx+sinx，

f₃（x）=（cosx+sinx）′=-sinx+cosx，

f₄（x）=（-sinx+cosx）′=-cosx-sinx，

f₅（x）=（-cosx-sinx）′=sinx-cosx，

依此类推，可得出f_n（x）=f_n+4（x），即函数f_n（x）具备周期性，周期是4．

且f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，

∵2008=502×4，

∴f₁（[π/2]）+f₂（[π/2]）+…+f₂₀₀₈（[π/2]）=502×0=0．

故答案为：0．

点评：

本题考点： 导数的运算．

考点点评： 本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性则解决本题的关键．