在三角形ABC中,已知a,b,c为角A,角,B,角C对边,且a,b是关于X方程X的平方+4(c+2)=(c+4)X的两个

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  • a,b是关于X方程X的平方+4(c+2)=(c+4)X的两个实数根

    X²-(c+4)X+4(c+2)=0

    韦达定理:

    a+b=c+4,

    ab=4(c+2)=4c+8;

    (a+b)²=(c+4)²,

    a²+b²+2ab=c²+8c+16,

    a²+b²+2(4c+8)=c²+8c+16,

    a²+b²=c²,

    三角形ABC为直角三角形,∠C=90°;

    设BC:AC=3:4=3k:4k=a:b,(k>0)

    c²=a²+b²=9k²+16k²,

    c=5k,

    又a+b=c+4,

    3k+4k=5k+4

    k=2,

    a=3k=6,b=4k=8,c=5k=10;

    DE⊥AC于E,

    ∠A=∠A,

    RT△AED∽RT三角形ACB,

    AE:AC=DE:BC

    AE:8=DE:6,

    令AE=4m,

    DE=6(4m)/8=3m=BD,

    AD:AE=AB:AC

    AD=4m*10/8=5m,

    AB-BD=5m

    10-3m=5m

    m=5/4,

    AE=4m=5/4*4=5;