解题思路：由xf′（x）+2f（x）=
lnx/x]，得：x2f′（x）+2xf（x）=lnx，即[x2f（x）]′=lnx，故x2f（x）=xlnx-x+c，由f（e）=[1/2e]，求出c值，进而利用导数法分析出f′（x）≤0恒成立，进而可得函数的单调性．
∵xf′（x）+2f（x）=[lnx/x]，
∴x2f′（x）+2xf（x）=lnx
∴[x2f（x）]′=lnx，
∴x2f（x）=xlnx-x+c，
将x=e代入可得：
e2f（e）=elne-e+c，
∵f（e）=[1/2e]，
∴c=[e/2]
∴x2f（x）=xlnx-x+[e/2]，
∴f（x）=[2xlnx−2x+e
2x2
∴f′（x）=
4x2lnx−8x2lnx+8x3−4ex
4x4=
−xlnx+2x−e
x3，
令g（x）=-xlnx+2x-e，
则g′（x）=1-lnx，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
故当x=e时，g（x）取最大值0，
故g（x）≤0恒成立，
故f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）是减函数．
故选：C
点评：
本题考点： 导数的运算．
考点点评： 本题考查的知识点是导数的运算，导数在求函数最值时的应用，是导数的综合应用，难度大，运算量大，属于难题．
1年前
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