两道题都是1^∞型极限,可用重要极限lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e
lim(x→0+) (cosx)^(1/x²)
=lim(x→0+) [1+(cosx-1)]^{[1/(cosx-1)]*[(cosx-1)/x²]}
=e^lim(x→0+) (cosx-1)/x²
=e^lim(x→0+) -(1/2)x²/x².∵cosx-1 ~ -(1/2)x²
=e^-(1/2)
=1/√e
原式=lim(x→0+) (cos√x)^(1/x)
=lim(x→0+) [1+(cos√x-1)]^{[1/(cos√x-1)]*[(cos√x-1)/x]}
=e^lim(x→0+) (cos√x-1)/x
=e^lim(x→0+) -(1/2)x/x.∵cos√x-1 ~ -(1/2)(√x)²
=e^-(1/2)
=1/√e
实际上第二题完全可以直接用第一题的结论：
令t=√x, 则x=t²
原式=lim(x→0+) (cos√x)^(1/x)
=lim(t→0+) (cost)^(1/t²)
=1/√e