Question

若x+y=1,求（x+1/x)(y+1/y)的最值?（函数的方法我会了,用轮换不等式该怎么推?答案是25/4,

Answer 1

【注：由答案可知,a,b＞0.LZ可能忽略了这个条件】（一）不妨设0＜x≤y＜1.易知有0＜x+(1/x)≤y+(1/y).===>0＜[x+(1/x)]²≤[x+(1/x)][y+(1/y)].等号仅当x=y=1/2时取得.（二）∵0＜x≤1/2,∴x+(1/x)≥5/2.等号仅当x=1/2时取得.∴（x+1/x)(y+1/y)≥(x+1/x)²≥25/4.等号仅当x=y=1/2时取得.∴（x+1/x)(y+1/y)min=25/4.【在这里,将x换为y,y换为x,结果一样.故仅需讨论0＜x≤y＜1的情况,对0＜y≤x＜1的情况同理.这就是轮换的意义.】