Question

设A为m*n实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知B=λE+（A的转置乘以A）.证明,当λ大于0时,B为正定矩阵.

Answer 1

一定要分析特征值的话可以这样.

首先由A为实矩阵,且B' = λE'+(A'A)' = λE+A'A = B,可知B为实对称阵.

因此B的特征值均为实数,要证明B正定,只需证明其特征值均大于0.

设b是B的一个特征值,则b为实数,且存在属于b的实特征向量X.

即有X ≠ 0,BX = bX.

考虑于是b(X'X) = X'(bX) = X'BX = λX'X+X'A'AX = λ(X'X)+(AX)'AX.

由AX是实向量,有(AX)'AX ≥ 0,又X是非零实向量,有X'X > 0.

于是当λ > 0,有b(X'X) > 0,进而有b > 0.

即B的特征值均为正数,B正定.

实际上直接用X'BX > 0来证明B正定更直接.