（2014•福建模拟）如图,设P是圆O：x2+y2=2上的点,过P作直线l垂直x轴于点Q,M为l上一点,且
PQ
=
2
MQ
,当点P在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）某同学研究发现：若把三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上,使其一条直角边过点F（1,0）,则三角板的另一条直角边所在直线与曲线Γ有且只有一个公共点．你认为该同学的结论是否正确?若正确,请证明；若不正确,说明理由．
（Ⅲ）设直线m是圆O所在平面内的一条直线,过点F（1,0）作直线m的垂线,垂足为T连接OT根据“线段OT长度”讨论“直线m与曲线Γ的公共点个数”．（直接写出结论,不必证明）
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）设出动点M的坐标及P的坐标,结合
PQ
=
2
MQ
把P的坐标用M的坐标表示,然后把P的坐标代入圆O可得曲线Γ的方程；
（Ⅱ）把现实问题转化为数学问题,分直角三角板的顶点在x轴上,与F点的连线垂直于x轴以及NF的斜率存在且不等于0几种情况讨论,斜率存在时设出直线方程,和曲线Γ联立由判别式等于0说明结论正确；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中同学研究的结论可知,当|0T|＝
2
时,直线m与椭圆Γ有且只有一个公共点；由此推广得到,当|OT|＞
2
时,直线m与椭圆Γ没有公共点；当|OT|＜
2
时,直线m与椭圆Γ有两个公共点．
（Ⅰ）设M（x,y）,P（xP,yP）,
∵PQ垂直x轴于点Q,M为直线l上一点,且
PQ
=
2
MQ
,
∴xP=x,yP＝
2
y,
∵点P在圆O：x2+y2=2上,
∴xP2+yP2＝2,
即x2+(
2
y)2＝2,整理得
x2
2
+y2＝1．
故曲线Γ的方程为
x2
2
+y2＝1；
（Ⅱ）如图,
设三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上的点N（a,b）处,则a2+b2=2,
又设三角板的另一条直角边所在直线为l′．
（ⅰ）当a=1时,直线NF⊥x轴,l′：y=±1,
显然l′与曲线Γ有且只有一个公共点．
（ⅱ）当a≠1时,则kNF＝
b
a−1
．
若b=0时,则直线l′：x＝±
2
,显然l′与曲线有且只有一个公共点；
若b≠0时,则直线l′的斜率k＝
1−a
b
,
∴l′：y−b＝
1−a
b
(x−a),即y＝
1−a
b
x+
2−a
b
,
由
x2
2
+y2＝1
y＝
1−a
b
x+
2−a
b
,得[b2+2（1-a）2]x2+4（1-a）（2-a）x+2[（2-a）2-b2]=0 （*）
又b2=2-a2,
∴方程（*）可化为（a-2）2x2+4（1-a）（2-a）x+4（a-1）2=0,
∴△=[4（1-a）（2-a）]2-16（a-2）2（a-1）2=0,
∴直线l′与曲线Γ有且只有一个公共点．
综上述,该同学的结论正确．
（Ⅲ）当|OT|＞
2
时,直线m与椭圆Γ没有公共点；
当|0T|＝
2
时,直线m与椭圆Γ有且只有一个公共点；
当|OT|＜
2
时,直线m与椭圆Γ有两个公共点