如图1,P是线段AB上的一点,在AB的同侧作△APC和△BPD,使PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD,连接CD,

3个回答

  • 解题思路:(1)连接AD、BC,利用SAS可判定△APD≌△CPB,从而得到AD=BC,因为EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线,则可以得到EF=FG=GH=EH,根据四边都相等的四边形是菱形,可推出四边形EFGH是菱形;

    (2)成立,可以根据四边都相等的四边形是菱形判定;

    (3)先将图形补充完整,再通过角之间的关系得到∠EHG=90°,已证四边形EFGH是菱形,则四边形EFGH是正方形.

    (1)四边形EFGH是菱形.(2分)

    (2)成立.(3分)

    理由:连接AD,BC.(4分)

    ∵∠APC=∠BPD,

    ∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD.

    即∠APD=∠CPB.

    又∵PA=PC,PD=PB,

    ∴△APD≌△CPB(SAS)

    ∴AD=CB.(6分)

    ∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,

    ∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线.

    ∴EF=[1/2]BC,FG=[1/2]AD,GH=[1/2]BC,EH=[1/2]AD.

    ∴EF=FG=GH=EH.

    ∴四边形EFGH是菱形.(7分)

    (3)补全图形,如答图.(8分)

    判断四边形EFGH是正方形.(9分)

    理由:连接AD,BC.

    ∵(2)中已证△APD≌△CPB.

    ∴∠PAD=∠PCB.

    ∵∠APC=90°,

    ∴∠PAD+∠1=90°.

    又∵∠1=∠2.

    ∴∠PCB+∠2=90°.

    ∴∠3=90°.(11分)

    ∵(2)中已证GH,EH分别是△BCD,△ACD的中位线,

    ∴GH∥BC,EH∥AD.

    ∴∠EHG=90°.

    又∵(2)中已证四边形EFGH是菱形,

    ∴菱形EFGH是正方形.(12分)

    点评:

    本题考点: 菱形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理;正方形的判定.

    考点点评: 此题主要考查了菱形的判定,正方形的判定,全等三角形的判定等知识点的综合运用及推理论证能力.