Question

（2014•烟台三模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列

Answer 1

解题思路：（I）将已知等式用等差数列{a_n}的首项、公差表示，列出方程组，求出首项、公差；利用等差数列的通项公式求出数列{a_n}的通项公式．

（II）利用等比数列的通项公式求出

b

n

a

n

，进一步求出b_n，根据数列{b_n}通项的特点，选择错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n．

（Ⅰ）依题意得

3a1+

3×2

2d+5a1+

4×5

2d＝50

(a1+3d)2＝a1(a1+12d)

解得

a1＝3

d＝2，

∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，

即a_n=2n+1．

（Ⅱ）

bn

an＝3n−1，

b_n=a_n•3^n-1=（2n+1）•3^n-1

T_n=3+5•3+7•3²+…+（2n+1）•3^n-1
3T_n=3•3+5•3²+7•3³+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ

-2T_n=3+2•3+2•3²+…+2•3^n-1-（2n+1）3ⁿ

＝3+2•

3(1−3n−1)

1−3−(2n+1)3n

＝−2n•3n

∴T_n=n•3ⁿ．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 解决等差、等比两个特殊数列的问题，一般将已知条件用基本量表示，列出方程组解决；求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．