乒乓球新旧赛制对比分析
关键字：11分制 21分制
题目描述：
自2001年10月1日起,国际乒联改用11分制等新规则.11分制的实行,使比赛偶然性增加,让一些二三流选手也有机会战胜一流选手.“但这个偶然性应有个度,”王家声说：“如果这个偶然性大到世界顶尖高手也纷纷被无名小卒淘汰,三四流选进决赛,那它就不是好规则了.”,是否会象羽毛球7分制一样实行不久就取消呢?
请就乒乓球新旧赛制对比分析,试对11分制的5盘3胜与21分制的3盘2胜制作定量的比较分析；试对11分制的7盘5胜和21分制的5盘3胜制作定量的比较分析；请就是否有利于运动的推广；是否有利于形成对抗激烈,场面精彩的比赛；是否有利于它的市场开发和赞助商利益方面来评价乒乓球11分制利弊如何,并作出建议.
参量和函数说明：
I 中的如下：
A：选手一 B：选手二
WA:A胜的球数 WB: B胜的球数
g: A每球的胜率,即赢得一球的概率
P1: 11分制下,A胜出一局,且WA=11,WB=10,WA=WB+2时,的概率
P3：11分制下,A胜出一局的总概率
P4：11分制下,5盘3胜,A胜出的总概率
P5：11分制下,7盘4胜,A胜出的总概率
p3: 21分制下,A胜出一局的总概率
p4: 21分制下,3盘2胜,A胜出的概率
p5: 21分制下,5盘3胜,A胜出的概率
II 中的如下：
A：选手一 B：选手二
i:A的得分,赢球数 j:B的得分,赢球数 n:总球数
g(i,j): A在比分i:j下胜出一球的概率,是随赛程而变化的函数
g0：A刚开始时的胜率
m(x):来表A进入状态的快慢程度对g造成影响的调谐因子
α:关键球(决胜负的一球)对A方对输赢此球的影响的因子
w(i,j)：用来描述A方输赢在比分i:j下,赢得此球的因子函数,当状态i:j时为可决定胜负(关键球)时w(i,j)=α,否则w(i,j)=1(也就是对比赛无影响)
L(x)：A输球数(输球数为负时,即赢球)对g的影响的因子函数,其中x=i-j
C：用来来标记A是否最先发球,若是则C=0,否则C=1
F(x)：发球权对A的胜率g的影响的因子函数,其中在11分制下x= mod(2) ,21分制下x= mod(2) .
G(i,j)：到达比分i:j时的概率
L1：表示A胜的折线 L2：表示B胜的折线
P1：在11分制下,A胜出一局的概率 P’1：在21分制下,A胜出一局的概率
解答过程：
I,初步建模
我们不妨先建立一个两选手对战的模型,且作出以下规定：1,根据两选手的技术水平,给定他们每一球胜出的概率；2,假设这种概率是恒定不变的,也就是说不考虑其它因素的影响.
现有两选手A和B对战,我们现在只拿出一个选手出来作考虑,比如A,因为比赛双方是相对的,确定了A的胜率,B胜率也随之确定(等于1减去A的胜率).记A赢球为标志1,输球为标志为0,则概率空间X={0,1}.假设比赛共打了n球,则由前面的假设易知,存在服从0-1分布的n个相互独立的随机变数x1,x2,x3,…,xn ,其中xi∈X,i=1,2,..,n.
设A每球的胜率为g(相应地B的胜率为1-g),对战n盘,有Y=X1+X2+…+Xn ,服从两项分布ψ(n,g).
一、现在我们先来讨论11分制下A选手胜出的总的概率.
由于在每一局中,只有当A先胜出B至少两球,且打足11球时,A方可赢得这一局.
这样说来,我们可分两种情况来讨论,一是A先胜出11球,且B胜出的不足10球,则A就可胜出了.二是,B超过或等于10球,这时当且仅当A领先出两球时,A才可赢得本局.
记A胜的球数为WA,B的为WB.对第一种情况,WA=11,WB=10,WA=WB+2,记A胜出此局的概率为P2,则前20球必为AB各胜10球(否则就是第一种情况了),总球数n=WA+WB=2WB+2,即n=22,24,…,2k+2,…
A要胜出此局,则最后两球必为A赢的,对于每一n=2k+2,k>=10,我们考虑从第21球开始
的r=n-22球(包括第21球),A,B在这期间的胜负可以说是交替的,即可以把相邻两球作为一个整体,把这段期间作分割,如下:
(第21球,第22球 ),(第23球,第24球)…………….(第n-4球,第n-3球)
在每个分割中,A,B各胜一球.
A在不同球数下胜出的事件均是互斥的.故有
P2= g10(1-g)10 其中k=10,11,12,…
=
记F(k)= =2-11g (1-g)-1
由于g是概率,故0≤g≤1,那么1-g≥0,所以有0≤2g(1-g)≤ =
故 = ,记L=2g(1-g), t=2-11g (1-g)-1/(1-L)
则F(k)= t Lk ≤t(1/2)k
由此可知,P2为收敛级数,并且有P2=tL11=
现在,我们来看一下,A胜出此局的概率是多少?我们记之为P3.由于,A在不同球数胜出的事件是相互独立的,互斥的,所以有
P3=P1+P2
=
a,对于5盘3胜
用P4来记A胜的概率,则比赛的盘数n可为3,4,5
n=3时,概率为： (P3)3
n=4时,最后一盘必为A胜,故概率为：P3 (P3)2(1-P3)
n=5时,最后一盘也必为A胜,故概率为：P3 (P3)2(1-P3)2
于是有P4=(P3)3+ P3 (P3)2(1-P3)+ P3 (P3)2(1-P3)2=10(P3)3 – 15(P3)4+6(P3)5
b,对于7盘4胜
用P5来记A用的概率,则比赛的盘数n可为4,5,6,7
n=4时,概率为： (P3)4
n=5时,最后一盘必为A胜,故概率为：P3 (P3)3(1-P3)
n=6时,最后一盘也必为A胜,故概率为：P3 (P3)3(1-P3)2
n=7时,最后一盘也必为A胜,故概率为：P3 (P3)3(1-P3)3
于是有P5=(p3)4[-20(P3)3+70(P3)4-84P3+35]或P5=(p3)4[1+4(1-p3)+10(1-p3)2+20(1-p3)3]
二、现在来讨论21分制下A选手胜出的总的概率.
有了11分制的的讨论,21分制下将易得出如下结果,(其论证过程类似于11分制的论证程)
对应于11分制下的P3,我们有p3=
=
a,对于3盘2胜下A胜出的概率,对应于11分制下的P4,我们记之为p4,则有
p4=3(p3)2-2(p3)3
b,对于5盘3胜下A胜出的概率,对应于11分制下的P5,我们记之为p5,则有
p5=(p3)3[6(p3)2-15p3+10]
下面我们用Mathimatica来分别作出P4和p4,P5和p5的图象比较如下：
并以步长为0.025,计算出g从0到1,P4和p4,P5和p5的比较数据如下：
num g P4 p4 P5 p5
1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
2 0.025 0.000 0.000 0.000 0.000
3 0.050 0.000 0.000 0.000 0.000
4 0.075 0.000 0.000 0.000 0.000
5 0.100 0.000 0.000 0.000 0.000
6 0.125 0.000 0.000 0.000 0.000
7 0.150 0.000 0.000 0.000 0.000
8 0.175 0.000 0.000 0.000 0.000
9 0.200 0.000 0.000 0.000 0.000
10 0.225 0.000 0.000 0.000 0.000
11 0.250 0.000 0.000 0.000 0.000
12 0.275 0.000 0.000 0.000 0.000
13 0.300 0.000 0.000 0.000 0.000
14 0.325 0.001 0.000 0.000 0.000
15 0.350 0.003 0.001 0.001 0.000
16 0.375 0.011 0.006 0.004 0.001
17 0.400 0.034 0.024 0.016 0.007
18 0.425 0.085 0.068 0.055 0.032
19 0.450 0.181 0.161 0.144 0.108
20 0.475 0.324 0.310 0.298 0.268
21 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500
22 0.525 0.676 0.690 0.702 0.732
23 0.550 0.819 0.839 0.856 0.892
24 0.575 0.915 0.932 0.945 0.968
25 0.600 0.966 0.976 0.984 0.993
26 0.625 0.989 0.994 0.996 0.999
27 0.650 0.997 0.999 0.999 1.000
28 0.675 0.999 1.000 1.000 1.000
29 0.700 1.000 1.000 1.000 1.000
30 0.725 1.000 1.000 1.000 1.000
31 0.750 1.000 1.000 1.000 1.000
32 0.775 1.000 1.000 1.000 1.000
33 0.800 1.000 1.000 1.000 1.000
34 0.825 1.000 1.000 1.000 1.000
35 0.850 1.000 1.000 1.000 1.000
36 0.875 1.000 1.000 1.000 1.000
37 0.900 1.000 1.000 1.000 1.000
38 0.925 1.000 1.000 1.000 1.000
39 0.950 1.000 1.000 1.000 1.000
40 0.975 1.000 1.000 1.000 1.000
41 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
程序清单如下：
#include
#include
#include
double c(int i,int n){//返回组合数
if(i>n/2) i=n-i;
double s=1;
int k,j;
for(k=n,j=1;j