Question

若a＞1，设函数f（x）=ax+x-2的零点为m，g（x）=logax+x-2的零点为n，则[1/m]+[1/n]的取值

Answer 1

解题思路：由指数函数和对数函数图象的对称性可知m+n=2，可得[1/m]+[1/n]=[1/2]（[1/m]+[1/n]）（m+n）=[1/2]（2+[m/n]+[n/m]），由基本不等式可得．

∵函数f（x）=a^x+x-2的零点为m，

∴m可看作y=a^x与y=2-x图象的交点的横坐标，∴0＜m＜1，

同理∵g（x）=log_ax+x-2的零点为n，

n可看作y=log_ax与y=2-x图象的交点的横坐标，∴1＜n＜2，

由y=a^x与y=log_ax的对称性可知m+n=2，

∴[1/m]+[1/n]=[1/2]（[1/m]+[1/n]）（m+n）=[1/2]（2+[m/n]+[n/m]）

≥[1/2]（2+2

m

n•

n

m）=2，

当且仅当m=n=1时，取等号，但m≠n，

∴[1/m]+[1/n]的取值范围为：（2，+∞）

故选：A

点评：

本题考点： 基本不等式；函数零点的判定定理．

考点点评： 本题考查函数的零点，涉及函数图象的对称性和基本不等式，属中档题．