Question

在（1+x）n的展开式中，已知第3项与第5项的系数相等．

Answer 1

解题思路：（1）依题意，由

C

2

n

=

C

4

n

，可求得n，利用

(x

2

−

1

x

)

6

的通项T_r+1=（-1）^r

C

r 6

x^12-3r即可求得其展开式中的系数最大的项和系数最小的项；

（2）利用（x²+x-2）⁶=（x²+x-2）•（x²+x-2）…（x²+x-2）（6个括号相乘），利用组合数的性质即可求得答案．

由已知得

C2n=

C4n，即

n(n−1)

2=

n(n−1)(n−2)(n−3)

4×3×2×1，解得n=6 …（3分）

（1）∵(x2−

1

x)6的通项T_r+1=

Cr6（x²）^6-r(−

1

x)r=（-1）^r

Cr6x^12-3r，

∴当r=3时，展开式中的系数最小，即T₄=-20x³为展开式中的系数最小的项；

当r=2或r=4时，展开式中的系数最大，即T₃=15x⁶，T₅=15为展开式中的系数最大的项 …（9分）

（2）∵（x²+x-2）⁶=（x²+x-2）•（x²+x-2）•…•（x²+x-2）（6个括号相乘），

要出现x²项，有两类：

一类是6个括号中有一个括号提供x²项，另5个括号均提供-2，共有

C16×（-2）⁵=-192个；

另一类是6个括号中有二个括号提供x项，另4个括号均提供-2，共有

C26×1²×（-2）⁴=240个；

∴（x²+x-2）⁶展开式中含x²项的系数为

C16×（-2）⁵+

C26×1²×（-2）⁴=-192+240=48．…（15分）

点评：

本题考点： 二项式系数的性质．

考点点评： 本题考查二项式系数的性质，着重考查二项展开式的通项公式与组合数的性质，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．