Question

f(x)=x^3+ax^2+x,证明：对于任意的m∈R,存在x∈[m,m+1],使得f'(x)=f(m+1)-f(m)

Answer 1

f'(x)=3x^2+2ax+1

f(m+1)-f(m)=(m+1)^3+a(m+1)^2+m+1-m^3-am^2-m

=3m^2+(3+2a)m+a+2

若f'(x)=f(m+1)-f(m)

则存在x∈[m,m+1],使得3x^2+2ax+1=3m^2+(3+2a)m+a+2成立.

x1+x2=-2a/3

x1*x2=-[3m^2+(3+2a)m+a+1]/3

则x1*(-2a/3-x1)=-[3m^2+(3+2a)m+a+1]/3

即(x1+a/3)^2-a^2/9=[3m^2+(3+2a)m+a+1]/3

ji (x1+a/3)^2=(m+a/3)^2+m+1/3>=0

取x1为正跟,

x1=根号【(m+a/3)^2+m+1/3】-a/3>=(m+a/3)-a/3=m

又(m+a/3+1)^2=(m+a/3)^2+2m+2a/3+1>=(m+a/3)^2+m+1/3

所以x1=根号【(m+a/3)^2+m+1/3】-a/3