Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x 2 +bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴的正半轴交于点C，

Answer 1

（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x ²+bx+c的得

0=-1-b+c

0=-9+3b+c ，

解得：

b=2

c=3

∴抛物线的解析式为y=-x ²+2x+3，

即y=-（x-1） ²+4．

∴抛物线顶点E的坐标为（1，4）；

（2）∵EF ∥ BC，

∴△BCF与△BCE的BC边上的高相等，

S _△BCF=S _△BCE．

（3）将抛物线向下平移，则顶点Q在对称轴x=1上，

∴-

b

2a =1，

∴-

b

-2 =1，

∴b=2，

设抛物线的解析式为y=-x ²+2x+c（c＞0）．

∴此时，抛物线与y轴的交点为P（0，c），顶点为Q（1，1+c）．

∴OP=c，DQ=1+c．

∵y=0时

∴-x ²+2x+c=0，

∴ x 1 =1-

1+c ， x 2 =1+

1+c ，

∴ M(1-

1+c ，0) ， N(1+

1+c ，0) ．

如图，过点Q作QG ∥ PN与x轴交于点G，连接NG，则S _△PNG=S _△PNQ．

∵S _△NPQ=S _△MNP，

∴S _△MNP=S _△PNG．

∴ NG=MN=2

1+c ．

设对称轴x=1与x轴交于点D，

∴ DG=

1

2 MN+NG=3

1+c ．

∵QG ∥ PN，

∴∠PND=∠QGD．

∴Rt△QDG ∽ Rt△PON．

∴

QD

DG =

PO

ON ．

∴

1+c

3

1+c =

c

1+

1+c ．

c=

5

4 ．

∴点 P(0，

5

4 ) ， N(

5

2 ，0) ．

设直线PN的解析式为y=mx+n，将P，N两点代入，得

5

4 =n

0=

5

2 +n ，

解得：

m=--

1

2

n=

5

4

∴直线PN的解析式为 y=-

1

2 x+

5

4 ．

故答案为：△BCF与△BCE．