Question

（1997•武汉）如图，⊙O1与⊙O内切于点A，△ABC内接于⊙O，AB、AC分别交⊙O1于点E和F，BD切⊙O1于点D

Answer 1

解题思路：（1）过点A作两圆的公切线MN，根据切割线定理可得出∠EFA=∠BCA，继而可证明结论EF∥BC；

（2）连接DE并延长交BC于点G，DH=4k，则HB=5k，DB=9k，根据∠DBC=60°利用解直角三角形的知识，可得出BG、DG的长度，然后表示出BE的长度，根据[AE/AB]=1-[BE/AB]，即可得出答案．

证明：（1）如图，过点A作两圆的公切线MN，

∵∠EFA=∠EAM，∠BCA=∠BAM，

∴∠EFA=∠BCA，

∴EF∥BC．

（2）由条件，不妨设DH=4k，

则HB=5k，DB=9k，

连接DE并延长交BC于点G，

∵DF为⊙O₁的直径，

∴DE⊥HF，∠DEH=90°，

∵EF∥BC．

∴∠DGB=∠DEH=90°，

∴[EG/DG]=[HB/DB]=[5/9]，

而∠DBG=60°，

∴BG=[1/2]DB=[9/2]k，DG=

3

2DB=

9

3

2k，

∴EG=[5/9]DG=

5

3

2k，

在Rt△BGE中，BE²=BG²+EG²=39k²，

∵BD是⊙O₁的切线，

∴BD²=BE•BA，

∴[BE/AB]=

BE2

BD2=

39k2

(9k)2=[13/27]，

∴[AE/AB]=1-[BE/AB]=[14/27]．

点评：

本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 本题属于圆的综合题，涉及了切割线定理、平行线的判定、勾股定理及切线的性质，考察的知识点较多，解答本题的关键是要求同学们熟练掌握所学的定理及性质，对于这样的综合性题目，除了要求我们仔细思考之外，更考察我们的灵活运用能力．