Question

已知（M^3-2M^2)X^2-（M^3-3M^2-4M+8)X+12-4M=0只有整数根，求M

Answer 1

就我所知，这种问题没有通用的解法。

就这个问题来看，可以这样

（1）首先尝试分解因式，求出x，

(M^2 x + 4) ( (M-2)x + 3-M ) = 0

（2）求x

注意 M = 0时，原方程解为 x = 3/2，不是整数；这种情况不考虑

设 M != 0,

这样 x1 = - 4/M^2, x2= 1- 1/（M-2）

(3)求M

注意 x1, x2是整数，则必然有

-4/M^2 = -c， 1/(M-2) = b，其中c,b为整数

对于 -4/M^2 = -c，如果c0

如果c不是平方数，则M一定是无理数(否则，设M = p/q,(p,q)=1, q !=0 , 可以推出矛盾)。

于是c是平方数

设 c = a^2 , a>0，a为整数

那么 解得 M = 2/a = 2 + 1/b

或者 (2b + 1)(a-1) = -1

于是 2b+1 = 1,a-1= -1，或者 2b+1 = -1, a-1 = 1

前者有b=a=0，不可，后者有b =-1,a =2

于是 M = 1,此时解 x1 = -4, x2 = 2