解题思路：（1）设f（x）=x2+ax+2b，根据二次函数的性质与零点存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立关于a、b的二元一次不等式组，在aob坐标系内作出相对应的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部，利用三角形的面积公式即可算出该区域的面积；
（2）设点E（a，b）为区域内的任意一点，根据直线的斜率公式可得k=[b−2/a−1]表示D、E连线的斜率，将点E在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化，即可算出k=[b−2/a−1]的取值范围；
（3）设点E（a，b）为区域内的任意一点，由两点的距离公式可得（a-1）2+（b-2）2表示点D、E之间距离的平方，再运动点E并观察D、E的距离变化，即可算出（a-1）2+（b-2）2的取值范围．
（1）设f（x）=x2+ax+2b，
∵方程x2+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，
∴可得
f(0)＞0
f(1)＜0
f(2)＞0，即
b＞0
a+2b+1＜0
a+b+2＞0．
作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，
得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）．
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），
∴S△ABC＝
1
2|BC|×yA＝
1
2×1×1＝
1
2，即为点（a，b）对应的区域的面积．
（2）设点E（a，b）为区域内的任意一点，
则k=[b−2/a−1]，表示点E（a，b）与点D（1，2）连线的斜率
∵kAD＝
2−1
1+3＝
1
4，kCD＝
2−0
1+1＝1，结合图形可知：kAD＜
b−2
a−1＜kCD，
∴[b−2/a−1]的取值范围是(
1
4，1)；
（3）设点E（a，b）为区域内的任意一点，
可得|DE|2=（a-1）2+（b-2）2，表示区域内的点D、E之间距离的平方
运动点E，可得当E在C点时满足|DE|2=（-1-1）2+（0-2）2=8，
在当E在A点满足|DE|2=（-3-1）2+（1-2）2=17．
由此可得（a-1）2+（b-2）2取值范围为：（8，17）．
点评：
本题考点： 简单线性规划的应用；函数零点的判定定理；直线的斜率；两点间的距离公式．
考点点评： 本题给出含有参数a、b的一元二次方程满足的条件，求参数a、b满足的不等式组，并依此求关于a、b式子的取值范围．着重考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式与两点间的距离公式等知识，属于中档题．