Question

如图，A、B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．

Answer 1

解题思路：（1）根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，从而△EDC∽△EBA，所以有EDEB=ECEA=DCAB，利用比例的性质可得12•13=（DCAB）2，得到DCAB的值；（2）根据题意中的比例中项，可得EFFA=FBFE，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（1）的结论∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以EF∥CD．

（1）∵A，B，C，D四点共圆，

∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B

∴△EDC∽△EBA，可得[ED/EB]=[EC/EA]=[DC/AB]，

∴[ED/EB]•[EC/EA]=（[DC/AB]）²，即[1/2]•[1/3]=（[DC/AB]）²，

∴[DC/AB]=

6

6；

（2）∵EF²=FA•FB，

∴[EF/FA]=[FB/FE]，

又∵∠EFA=∠BFE，

∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，

又∵A，B，C，D四点共圆，

∴∠EDC=∠EBF，

∴∠FEA=∠EDC，

∴EF∥CD．

点评：

本题考点： 与圆有关的比例线段．

考点点评： 本题在圆内接四边形的条件下，一方面证明两条直线平行，另一方面求线段的比值．着重考查了圆中的比例线段、圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，属于中档题．