Question

设f（x）=x2-x+14，且|x-a|＜1，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

Answer 1

解题思路：先利用函数f（x）的解析式，代入左边的式子|f（x）-f（a）|中，再根据|f（x）-f（a）|=|x²-x-a²+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1，进行放缩即可证得结果．

证明：由|f（x）-f（a）|=|x²-a²+a-x|=|（x-a）（x+a-1）|

=|x-a||x+a-1|＜|x+a-1|=|（x-a）+2a-1|≤|x-a|+|2a|+1＜|2a|+2

=2（|a|+1）．

∴|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

点评：

本题考点： 不等式的证明．

考点点评： 本题主要考查绝对值不等式的性质，用放缩法证明不等式，体现了化归的数学思想，属于中档题．