Question

（2014•武汉五月调考）已知二次函数C1：y=x2+2ax+2x-a+1，且a变化时，二次函数C1的图象顶点M总在抛物

Answer 1

（1）∵y=x²+2ax+2x-a+1=x²+（2a+2）x-a+1=（x+a+1）²-a²-3a，

∴顶点M的坐标是（-a-1，-a²-3a）．

方法一：分别取a=0，-1，1，得到三个顶点坐标是M₁（-1，0）、M₂（0，2）、M₃（-2，-4），

过这三个顶点的二次函数的表达式是y=-x²+x+2．

将顶点坐标M（-a-1，-a²-3a）代入y=-x²+x+2的左右两边，

得左边=-a²-3a，右边=-（-a-1）²+（-a-1）+2=-a²-3a，

∴左边=右边．

即无论a取何值，顶点M都在抛物线y=-x²+x+2上．

即所求抛物线的函数表达式是C₂：y=-x²+x+2；

方法二：令-a-1=x，将a=-x-1代入y=-a²-3a，得y=-（-x-1）²-3（-x-1）=-x²+x+2，

即所求抛物线的函数表达式是C₂：y=-x²+x+2；

（2）分两种情况：

①当点E在x轴上方时，过点E作EH⊥x轴于点H．

∵AC∥EF，

∴△CAO∽△EFH，

[CO/EH＝

AC

EF]=2，

∴EH=[1/2]CO=[1/2]×2=1，即E点纵坐标为1，

当y=1时，-x²+x+2=1，

解得x=

5+1

2或x

1−

5

2（舍去），

∴E（

1+

5

2，1）；

②当点E在x轴下方时，同理可求得E（

1+

13

2，-1）；

综上所述，满足条件的E点坐标有两个：E（

1+

5

2，1）或