Question

在数列An中,a1=1,它的前n项和为Sn,对任意n∈N*,2a1,Sn+1,Sn成等差数

Answer 1

1.

猜想：Sn=2- 1/2^(n-1)

证：

n=1时,S1=2- 1/2^0=2-1=1,满足通项公式.

假设当n=k时,满足通项公式,即Sk=2- 1/2^(k-1),则当n=k+1时,

2S(k+1)=2a1+Sk

S(k+1)=a1+Sk /2=1+[2-1/2^(k-1)]/2=1+1-1/2^k=2-1/2^[(k+1)-1],同样满足通项公式

k为任意正整数,因此对于任意正整数n,Sn恒满足通项公式

Sn的通项公式为Sn=2- 1/2^(n-1)

2.

n≥2时,an=Sn-S(n-1)=2-1/2^(n-1) -2+1/2^(n-2)=1/2^(n-1)

n=1时,a1=1/2^0=1,同样满足通项公式

数列{an}的通项公式为an=1/2^(n-1)

3.

liman = lim 1/2^(n-1) =0

n->+∞ n->+∞

limSn =lim[2-1/2^(n-1)] =2

n->+∞ n->+∞