Question

如图，在三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC 1 的中点，AB

Answer 1

证明：（1）设AB ₁和A ₁B的交点为O，连接EO，连接OD．

因为O为AB ₁的中点，D为AB的中点，所以OD ∥ BB ₁且 OD=

1

2 B B 1 ．

又E是CC ₁中点，

则EC ∥ BB ₁且 EC=

1

2 B B 1 ，即EC ∥ OD且EC=OD，

则四边形ECOD为平行四边形．所以EO ∥ CD．

又CD⊄平面A ₁BE，EO⊂平面A ₁BE，

则CD ∥ 平面A ₁BE．…（7分）

（2）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB ₁⊥AB，BB ₁⊥BC，

所以BB ₁⊥平面ABC．

因为CD⊂平面ABC，所以BB ₁⊥CD．

由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB．

所以CD⊥平面A ₁ABB ₁．

由（1）可知EO ∥ CD，所以EO⊥平面A ₁ABB ₁．

所以EO⊥AB ₁．

因为侧面是正方形，所以AB ₁⊥A ₁B．

又EO∩A ₁B=O，EO⊂平面A ₁EB，A ₁B⊂平面A ₁EB，

所以AB ₁⊥平面A ₁BE．…（14分）

1年前

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