解题思路：先假设存在这样的直线l，分类讨论：斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程，①当k存在时，与双曲线方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则△=（2k2-2k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，可求k的范围，再由B是线段PQ的中点，则
x
1
+x
2
2
=1，可求k，看是否矛盾，②当k不存在时，直线经过点B但不满足条件，故符合条件的直线l不存在，综合可求
设过点B（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1（当k存在时）或x=1（当k不存在时）．
（1）当k存在时，有
y＝k(x−1)+1
x2−
y2
2＝1
得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0 （1）
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△=（2k2-2k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，
∴k＜[3/2]
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
∴x1+x2=
2(k−k 2)
2−k2，又B（1，1）为线段PQ的中点
∴
x1+x 2
2=1 即
2(k−k 2)
2−k2=1
∴k=2
当k=2，使2-k2≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程（1）无实数解
故过点B（1，1）与双曲线交于两点P、Q且B为线段PQ中点的直线不存在．
（2）当k不存在时，即当x=1时，直线经过点B，但不满足条件，
综上，符合条件的直线l不存在．
点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．
考点点评： 本题考察了直线与双曲线的位置关系，特别是相交时的中点弦问题，方程的根与系数关系的应用，及利用方程思想判断直线与曲线位置关系