解题思路:(I)根据性质P;对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与
a
j
a
i
两数中至少有一个属于A,验证给的集合集{1,3,4}与{1,2,3,6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素;
(Ⅱ)由性质P,知anan>an,故anan∉A,从而1=
a
n
a
n
∈A,a1=1.再验证又∵
a
n
a
n
<
a
n
a
n−1
<…<
a
n
a
2
<
a
n
a
1
,
a
n
a
n
=1
,
a
n
a
n−1
=
a
2
,…,
a
n
a
2
=
a
n−1
,从而
a
n
a
n
+
a
n
a
n−1
+…+
a
n
a
2
+
a
n
a
1
=a1+a2+…+an,命题得证;
(Ⅲ)跟据(Ⅱ),只要证明
a
5
a
4
=
a
4
a
3
=
a
3
a
2
=
a
2
a
1
=
a
2
即可.
(Ⅰ)由于3×与均不属于数集{1,3,4,
∴该数集不具有性质P.
由于1×2,1×3,1×6,2×3,[6/2],[6/3],[1/1],[2/2],[3/3],都属于数集{1,2,3,6,
∴该数集具有性质P.
(Ⅱ)∵A={a1,a2,…,an}具有性质P,
∴anan与
an
an中至少有一个属于A,
由于1≤a1<a2<…<an,∴anan>an
故anan∉A.
从而1=
an
an∈A,a1=1.
∵1=a1<a2<…an,n≥2,∴akan>an(k=2,3,4,…,n),
故akan∉A(k=2,3,4,…,n).
由A具有性质P可知
an
ak∈A(k=2,3,4,…,n).
又∵
an
an<
an
an−1<…<
an
a2<
an
a1,
∴
an
an=1,
an
an−1=a2,…,
an
a2=an−1,
从而
an
an+
a
点评:
本题考点: 数列的应用.
考点点评: 本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法.此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力,侧重于对能力的考查,属于较难层次题.