(2009•北京)已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…an,n≥2)具有性质P;对任意的i,j(1≤

1个回答

  • 解题思路:(I)根据性质P;对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj

    a

    j

    a

    i

    两数中至少有一个属于A,验证给的集合集{1,3,4}与{1,2,3,6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素;

    (Ⅱ)由性质P,知anan>an,故anan∉A,从而1=

    a

    n

    a

    n

    ∈A,a1=1.再验证又∵

    a

    n

    a

    n

    a

    n

    a

    n−1

    <…<

    a

    n

    a

    2

    a

    n

    a

    1

    a

    n

    a

    n

    =1

    a

    n

    a

    n−1

    a

    2

    ,…,

    a

    n

    a

    2

    a

    n−1

    ,从而

    a

    n

    a

    n

    +

    a

    n

    a

    n−1

    +…+

    a

    n

    a

    2

    +

    a

    n

    a

    1

    =a1+a2+…+an,命题得证;

    (Ⅲ)跟据(Ⅱ),只要证明

    a

    5

    a

    4

    a

    4

    a

    3

    a

    3

    a

    2

    a

    2

    a

    1

    a

    2

    即可.

    (Ⅰ)由于3×与均不属于数集{1,3,4,

    ∴该数集不具有性质P.

    由于1×2,1×3,1×6,2×3,[6/2],[6/3],[1/1],[2/2],[3/3],都属于数集{1,2,3,6,

    ∴该数集具有性质P.

    (Ⅱ)∵A={a1,a2,…,an}具有性质P,

    ∴anan

    an

    an中至少有一个属于A,

    由于1≤a1<a2<…<an,∴anan>an

    故anan∉A.

    从而1=

    an

    an∈A,a1=1.

    ∵1=a1<a2<…an,n≥2,∴akan>an(k=2,3,4,…,n),

    故akan∉A(k=2,3,4,…,n).

    由A具有性质P可知

    an

    ak∈A(k=2,3,4,…,n).

    又∵

    an

    an<

    an

    an−1<…<

    an

    a2<

    an

    a1,

    an

    an=1,

    an

    an−1=a2,…,

    an

    a2=an−1,

    从而

    an

    an+

    a

    点评:

    本题考点: 数列的应用.

    考点点评: 本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法.此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力,侧重于对能力的考查,属于较难层次题.