Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度

Answer 1

解题思路：（1）设P点离开D点的t秒时PQ∥AB，过点D作DM∥AB交BC于点M，则PQ∥MD，PC=5-t，CQ=2t，由相似三角形的性质即可求出t的值；

（2）分别过点A、P，作AE⊥BC，PG⊥BC，先由等腰梯形的性质求出BE的长，再由勾股定理求出AE的长，根据∠B=∠C，用t表示出PG的长，再由S_{五边形ABQPD}=S_梯形ABCD-S_△PQC即可得出结论；

（3）由（2）可知，S_梯形ABCD=36，PG=4-[4/5]t，假设PQ能平分梯形ABCD，则S_△PQC=18，由此可得出关于t的一元二次方程，求出此方程无解即可；

（4）分别当∠PQC=90°时，易证，△CQP∽△CND，当∠CPQ=90°时，易证△CQP∽△CDN，进而得出即可．

（1）设P点离开D点的t秒时PQ∥AB，过点D作DM∥AB交BC于点M，则PQ∥MD，PC=5-t，CQ=2t，

∵AB∥MD，PQ∥AB，

∴PQ∥MD，

∴[PC/CD]=[CQ/MC]，

∵CD=5，AD=6，BC=12，

∴MC=BC-BM=12-6=6，

∴[5−t/5]=[2t/6]，

解得t=[15/8]（秒）；

（2）如图2，分别过点A、P，作AE⊥BC，PG⊥BC，

∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=12，

∴BE=[BC−AD/2]=[12−6/2]=3，

∵AB=5，

∴AE=

AB2−BE2=

52−32=4，

∴sinB=[AE/AB]=[4/5]，

∵∠B=∠C，sinC=[PG/PC]=[PG/5−t]，

∴[PG/5−t]=[4/5]，

解得PG=4-[4/5]t，

∴S_{五边形ABQPD}=S_梯形ABCD-S_△PQC=[1/2]×（6+12）×4-[1/2]×2t×（4-[4/5]t），即S=[4/5]t²-4t+36（0＜t≤5）；

（3）不能．

∵由（2）可知，S_梯形ABCD=36，PG=4-

点评：

本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题考查的是相似形综合题及等腰梯形的性质、锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形及直角三角形是解答此题的关键．