求满足下列条件的点的轨迹方程①已知动圆过定点P(1,0)且与直线l:x=-1相切,求动圆圆心M的轨迹方程.②已知△ABC

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  • 解题思路:①由题意可得圆心M到点P的距离等于它到直线l的距离,可知圆心M的轨迹是以P为焦点,直线l为准线的抛物线,设出抛物线方程,求出p后得答案;

    ②由△ABC的周长为16,结合B(-3,0),C(3,0),可得|AB|+|AC|=10,从而得到点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,并求得a,c的值,代入b2=a2-c2求出b后得到顶点A的轨迹方程.

    ①由题意得:圆心M到点P的距离等于它到直线l的距离,

    ∴圆心M的轨迹是以P为焦点,直线l为准线的抛物线.

    设圆心M的轨迹方程为y2=2px(p>0)(p>0).

    p

    2=1,

    ∴p=2.

    ∴圆心M的轨迹方程为:y2=4x;

    (2)∵|AB|+|AC|+|BC|=16,

    ∴|AB|+|AC|=10.

    ∴点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆.

    ∴2a=10,

    a=5.

    又c=3,

    ∴b2=a2-c2=16.

    ∴顶点A的轨迹方程为:

    x2

    25+

    y2

    16=1 (y≠0).

    点评:

    本题考点: 轨迹方程.

    考点点评: 本题考查了轨迹方程的求法,训练了利用抛物线和椭圆的定义求其方程,是中档题.